Hoe de subgroepen van Zn bepalen
De cyclische groepen zijn een deelverzameling van alle groepen met een bijzonder gemakkelijk te begrijpen structuur . Met name kunnen de cyclische groepen vertegenwoordigd door een reeks getallen met modulo rekenkunde . Bijvoorbeeld kan Z15 gevormd door de getallen 0 tot 14 , waarbij 16 gelijk aan 1 , 17 gelijk aan 2 enzovoorts . Deze cyclische groepen hebben een wiskunde allemaal hun eigen . Een bijzonder interessante vraag , die diepe inzichten oplevert in undergraduate wiskunde klassen , is wat subsets van deze groepen te vormen groepen zelf . Instructies
1
Factor de volgorde van uw groep . Als bijvoorbeeld de groep 18 elementen , de volgorde is 18 : 18 = 2 x 3 x 3 Als de groep 30 elementen , zijn beschikking 30 : 2 x 3 x 5 kopen van 2
Bepaal alle mogelijke getallen die gelijkmatig kan verdelen in de volgorde van de groep op basis van de factorisatie gedaan in stap 1 in een groep van orde 18 , zou dit 2 , 3 , 6 en 9 geven in een groep van orde 30 , dit geeft 2 , 3 , 5 , 6 , 10 en 15
3
Begrijp dat iedere subgroep van uw cyclische groep van de orde van een factor om uw belangrijkste groep moet zijn . Bijvoorbeeld , voor de cyclische groep van orde 18 , een goede subgroep --- of een subgroep die groter is dan een element en kleiner dan 18 elementen --- moet van orde 2 , 3 , 6 of 9 , omdat dit de uitsluitend die factor in 18 Bovendien iedere subgroep van een subgroep van een cyclische groep moet zelf een cyclische groep .
4
Vind het kleinste element van elk van de getallen in stap 2 . in de groep van orde 18 waaraan additieven , 2 is het kleinste element van orde 9 (ook 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18 ) , 3, is het kleinste element van bestelling 6 ( sinds 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 ) , 6 is het kleinste element van de orde 3 ( vanaf 6 + 6 + 6 = 18 ) en 9 is het kleinste element van orde 2 ( sinds 9 + 9 = 18 ) .
5
Bepaal de subgroepen gevormd door deze elementen . In de cyclische groep van orde 18 , de subgroep die door 2 is de groep { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 } . De subgroep die door 3 de groep { 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 } , en die gegenereerd door 6 { 0 , 6 , 12 } . De cyclische subgroep van orde 2 de groep { 0 , 9 } . Dankzij de combinatie van eigenschappen besproken in stap 3 , is er altijd precies een subgroep van een cyclische groep voor elk nummer dat gelijkmatig kan verdelen in de volgorde van de groep .