Hoe de Integrale Volume van een Hypersphere Leid

Gewoon een cirkel is de verzameling van alle punten in een tweedimensionaal vlak op gelijke afstand van een centraal punt en een bol is de verzameling van alle punten in drie dimensies gelijke afstand vanuit een centraal punt , in de wiskunde er bestaan ​​analoge structuren , genaamd hyperspheres , in dimensionale ruimten groter dan drie die de verzameling van alle punten op gelijke afstand van een centraal punt . Bijgevolg , zoals de integrale volume van een bol in drie dimensies kan worden verkregen met calculus , zo kan de integrale delen van deze hogere - dimensionale figuren. Instructies
1

het assenstelsel dat zal worden gebruikt in het probleem te definiëren . Hoewel elk coördinatenstelsel kan men laten werken , een variatie op sferische poolcoördinaten beste werkt . Als voorbeeld , in een n - dimensionale ruimte , definieert r de afstand tot het middelpunt , theta de azimutale hoek en phi1 , phi2 , ... phi ( n - 2 ) als hoekige coördinaten van 0 tot pi radialen . het kopen van 2

Schrijf uit het basisvolume integraal over de gehele hypersphere . Dit zal de integraal van 0 tot bepaalde straal R r en over het geheel van de mogelijke hoeken per hoekcoördinaat , 0 tot 2pi voor theta en 0 tot pi voor de overige variabelen . De meervoudige integralen worden genomen van 1 over het volume-element .

Vervang
3 het volume-element met de juiste termen berekend uit de Jacobiaan determinant . Bijvoorbeeld, voor een hypersphere in vier dimensies , zal het zijn : .

R ^ 3 sin ^ 2 ( phi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta

meer hulp berekenen van de Jacobiaan zie de betreffende bron link.

Schrijf 4 beneden het definitieve antwoord na het nemen van elke integrale in successie . In ons voorbeeld van de vier - dimensionale hypersphere het uiteindelijke antwoord is : .

( Pi ^ 2/2 ) * straal ^ 4