Indeling van stelsels lineaire vergelijkingen

Lineaire vergelijkingen beschrijven rechte lijnen of platte multidimensionale oppervlakken. Stelsels lineaire vergelijkingen stelsels lineaire vergelijkingen . Ze zijn te vinden in tal van wetenschappelijke en technische disciplines . Lineaire vergelijkingen worden gebruikt in de statistiek , techniek , natuurkunde , financiën en economie . Een bepaald systeem van lineaire vergelijkingen kan in een van de drie categorieën vallen . Voor de toepassing van dit artikel zullen de volgende twee dimensionaal systeem worden gebruikt als een voorbeeld :

4x + 5y = 1
4x - 2y = 2 lineaire vergelijkingen nomenclatuur

de rang van een stelsel lineaire vergelijkingen is het aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen van de coëfficiënten matrix van dat systeem. De coëfficiënten matrix is een raster van de getallen die de systeemvariabelen voorafgaan. In ons voorbeeld zou de coëfficiënten matrix zijn :

4 5

4 -2

Voor een rij ( of kolom ) lineair onafhankelijk van een andere rij ( of kolom ) , moet het geval dat een rij ( of kolom ) niet kan worden geproduceerd door een lineaire combinatie van andere rij ( of kolom ) zijn. Je moet niet in staat zijn om meerdere alle elementen van de rij 1 met een enkel nummer om rij 2 te krijgen Je kunt zien dat alle kolommen in ons voorbeeld coëfficiënten matrix zijn lineair onafhankelijk , want er bestaat geen enkel nummer dat zou ons in staat om zich te vermenigvuldigen 4 om ​​5 en -2 . U kunt ook zien dat de rijen in ons voorbeeld matrix zijn lineair onafhankelijk . Er bestaat geen enkel getal dat vermenigvuldigd met 4 produceert 4 en vermenigvuldigd met 5 produceert -2 . Dit betekent dat de rangschikking van ons voorbeeld systeem 2

De aangevulde matrix is een combinatie van de coëfficiënten matrix en de oplossing vector . In ons voorbeeld zou de aangevulde matrix :

4 5 1

4 -2 2

Omdat deze matrix heeft twee rijen , de hoogste waarde van de rang van de aangevulde matrix kan eventueel worden is 2 Daarom is voor dit voorbeeld , de rang van de aangevulde matrix is gelijk aan de rang van de matrix van coëfficiënten .
uitbreiding van het stelsel

in ons voorbeeld stelsel vergelijkingen , zijn er slechts twee variabelen . De vergelijkingen beschrijven lijnen in tweedimensionale ruimte . Als we een andere set van variabelen toe te voegen de vergelijkingen zouden vliegtuigen beschrijven in drie - dimensionale ruimte . Dit kan worden uitgebreid naar meerdere dimensies . In plaats van te denken in termen van systemen met een bepaald aantal variabelen , kunnen we denken in termen van een generiek systeem met n variabelen . Dit stelt ons in staat om de algemene eigenschappen van alle stelsels van vergelijkingen classificeren ongeacht het aantal variabelen in het systeem .
No Solution

Als de rang van de coëfficiënten matrix niet gelijk is aan de rangschikking van de aangevulde matrix , geen oplossing . Er is geen unieke reeks waarden die de in het systeem van vergelijkingen beschreven eisen voldoet . Het stelsel van vergelijkingen kan niet worden opgelost . Als het systeem niet kan worden opgelost , wordt het systeem gezegd inconsequent te zijn .
Een unieke oplossing

Er is een enkele , unieke set van oplossingen voor het stelsel van vergelijkingen als de rangschikking van de coëfficiënten matrix is gelijk aan de rangschikking van de aangevulde matrix en zijn beide gelijk aan het aantal kolommen van de matrix coëfficiënten . Er is een enkele set van waarden die de door het stelsel van vergelijkingen eisen voldoet . Als er een unieke oplossing , wordt het systeem gezegd om onafhankelijk te zijn .
Een oneindig aantal oplossingen

Het stelsel van vergelijkingen heeft een oneindig aantal oplossingen als de rangschikking van de coëfficiënten matrix is gelijk aan de rangschikking van de aangevulde matrix en zijn allebei minder dan het aantal rijen in de matrix coëfficiënten . Thiere is een oneindig groot geheel van waarden dat de door het stelsel van vergelijkingen voldoen . Als er een oneindig aantal oplossingen , is het systeem dat afhankelijk te zijn .