Wat is de divergentie van een scalaire Vector
Vector calculus heeft een belangrijke plaats in techniek en natuurkunde vanwege drie name exploitanten : ? Gradiënt , divergentie en rotatie . De divergentie exploitant maatregelen bron een vector veld of gootsteen magnitude op een bepaald punt . Hoewel vector velden binden numerieke waarden met richtingaanwijzers , divergentie is een scalaire resultaat . Het is een kwantitatieve maat voor de naar buiten gerichte flux in een vectorveld afkomstig van een bron . Divergentie berekeningen kunnen bewijzen conceptueel lastig te zijn , maar ze zijn niet onmogelijk te beheersen . Inzicht in de Math
Om te begrijpen divergentie wiskundige manifestatie , eerst kijken naar een differentieerbare vector functie v ( x , y , z ) waarbij x , y en z zijn cartesiaanse coördinaten . Verder laat v1 , v2 en v3 zijn de componenten van v . De divergentie van een vectorveld is het inwendig product tussen de divergentie exploitant en de vector veld functie . De formule voor de divergentie van het vectorveld v kan dus worden gedefinieerd als :
div v = ( & deel ; v1 /& part ; x ) + ( & deel ; v2 /& part ; y ) + ( & deel ; v3 /& part , z )
Divergentie kan worden opgevat als de partiële afgeleide van elke component met betrekking tot de cartesiaanse coördinatenstelsel . Dot producten opleveren scalaire oplossingen . De divergentie operator levert dus een scalaire oplossing van een vectorveld , wat suggereert div v een richtingloos magnitude indicatie zijn.
Een belangrijke veronderstelling
Het centrale begrip van verschil maakt een grote aanname , dat een functie van een bepaalde fysieke of geometrische eigenschap , waarden onafhankelijk van de bepaalde keuze van coördinaten . In feite is dit het geval . De uiterlijke flux wordt verondersteld om uit de buurt van de bron met de relatieve uniformiteit te bewegen . Divergentie kan worden opgevat als een kwalitatieve tarief voor deze flux of stroom .
Invariantie van de Divergentie
Waarden voor div v afhangen van de punten in de ruimte en de bijbehorende mathematische functie . Waarden zijn invariant met betrekking tot transformatie coördineren . Het selecteren van een andere keuze van het Cartesische coördinaten x * , y * en z * en bijbehorende onderdelen * v1 , v2 en v3 * * voor functie v resulteert in dezelfde vergelijking . Deze onveranderlijkheid van de divergentie blijft een essentieel stelling in verband met deze specifieke operator
Met betrekking tot elke andere coördinaten in het vector veld en hun bijbehorende functie componenten , de divergentie berekening blijft hetzelfde : . De divergentie is de dot product tussen de exploitant en de vector veld , of de partiële afgeleide van elk onderdeel met betrekking tot de cartesiaanse coördinatenvlak .
genomen naar het volgende niveau
Divergentie speelt een belangrijke rol in geavanceerde calculus . De werking ten grondslag een van de " grote" integraalstellingen , die kan worden ongelooflijk complexe berekeningen weer kleine redelijk problemen . Deze procedure staat bekend als de Divergentie Stelling van Gauss .
Stel je voor een gesloten begrensd gebied in de ruimte , de zogenaamde T , met een stuksgewijs glad oppervlak S voor de grens komt. Stel dat n is de buitenste eenheid normaalvector van het oppervlak S. Laat de vector functie F ( x , y , z ) zowel continu en de continue eerste partiële afgeleiden in een domein met T. De divergentiestelling van Gauss bepaalt de drievoudige integraal van de divergentie van F over een volume kan worden gelijkgesteld met de dubbele integraal van het inwendig product tussen F en n over een gebied . Zo kunnen complexe volume integralen worden omgezet in meer beheersbare oppervlakte-integralen door een begrip en extrapolatie van de divergentie van een vectorveld .